Question

设函数f（x）=|x-2|+x．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，求g（x）＜f（x）成立时x的取值范围．

Answer

（1）利用零点分段法，我们可将设函数f（x）=|x-2|+x的解析式化为分段函数的形式，进而分别确定各段上函数的值域，综合后可得函数f（x）的值域；
（2）利用零点分段法，分别讨论当x≤-1时，当-1＜x＜2时和当x≥2时，不等式g（x）＜f（x）的解集，最后综合讨论结果，即可得到答案．
【解析】
（1）f（x）=，
故f（x）的值域为[2，+∞）．…（2分）
（2）∵g（x）＜f（x），∴|x+1|＜|x-2|+x，∴|x-2|-|x+1|+x＞0，…（4分）
①当x≤-1时，-（x-2）+（x+1）+x＞0，∴x＞-3，∴-3＜x≤-1．…（6分）
②当-1＜x＜2时，-（x-2）-（x+1）+x＞0，∴x＜1，∴-1＜x＜1．…（8分）
③当x≥2时，（x-2）-（x+1）+x＞0，∴x＞3，∴x＞3．
综上，x∈（-3，1）∪（3，+∞）．…（10分）