Question

称数列{a_n+1-a_n}为数列{a_n}的一阶差数列．若数列{a_n}中，a₁=3，a₄=24．且{a_n+1-a_n}的一阶差数列为常数列2，2，2，…．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设，求证：对一切n∈N₊，．

Answer

（1）确定数列{an+1-an}是公差为2的等差数列，即可求得结论；
（2）数列{an+1-an}是首项为5，公差为2的等差数列，由此可求数列{an}的通项公式an；
（3）利用裂项法求和，即可证得结论．
（1）【解析】
由于数列{an+1-an}的一阶差数列为常数列2，2，2，…，知数列{an+1-an}是公差为2的等差数列．
由（a4-a3）-（a3-a2）=2，（a3-a2）-（a2-a1）=2得a2=8，a3=15．（4分）
（2）【解析】
数列{an+1-an}是首项为5，公差为2的等差数列，
n≥2时，
∴，（8分）
而a1=3也恰适合以上通项公式，故（9分）
（3）证明：对一切n∈N+，
==（13分）