Question

已知函数，其导函数f′（x）的图象经过原点．
（1）若存在x∈（-∞，0），使曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线的斜率等于-4，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，求f（x）的零点的个数．

Answer

（1）由已知f'（0）=0，得出b=0，进而求出函数f′（x）的表达式．再利用导数的几何意义，可得出，利用基本不等式即可求出a的取值范围；
（2）利用导函数=0，列出表格如表，利用极值、单调性和函数零点的判断方法即可判断出零点的个数．
【解析】
f'（x）=x2-（a+1）x+b，由f'（0）=0，∴b=0，∴f'（x）=x2-（a+1）x．
（1）当x＜0时，，
∴==-5，当且仅当，x＜0，解得x=-2时取等号；
∴a的取值范围是（-∞，-5]．
（2）f'（x）=x2-（a+1）x．=x[x-（a+1）]，令f′（x）=0，解得x=0，或a+1，
∵a＞0，∴a+1＞0，列表如下：
∴f（x）在（-∞，0]上递增，在[0，a+1]上递减，又在[a+1，+∞）上递增，
而，f（0）=a＞0，，
又-a-1＜0＜a+1＜（a+2）2，
故f（x）在（-a-1，0），（0，a+1），（a+1，（a+2）2）内各有一个零点，所以f（x）共有3个零点．