Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA=AB=2，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD．

Answer

（I）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行，连接BD交AC于点O，连接EO，根据三角形的中位线可知EO∥PB，而EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，满足定理条件；
（II）欲证平面PCD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PCD内一直线与平面PAD垂直，而PA⊥CD，CD⊥AD，PA∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥平面PAD，得到结论．
（Ⅰ）
证明：连接BD交AC于点O，连接EO．
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC、
（Ⅱ）
证明：∵P点在平面ABCD内的射影为A，
∴PA⊥平面ABCD、∵CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD、
又∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．