Question

设，其中c，c₁，c₂，…，c_k为非零常数，数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）．
（1）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

Answer

（1）由a1 =S1 求出首项 a1 的值，当n≥2时，由an+Sn=2 ①，可得an-1+Sn-1=2 ②，相减可得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）．判断，从而证得结论．
（2）若k=0，由（1）知，不符题意．若k=1，求得an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．若k=2，同理求得an=2an-2a+1（n∈N*），此时．
 当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列，综上可得结论．
（1）证明：∵k=0，则fk（n）即f（n）为常数，不妨设f（n）=c（c为常数）．
因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，即c=2a1=2．
而且当n≥2时，由an+Sn=2 可得①an-1+Sn-1=2，②，把①-②可得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）．
若an=0，则an-1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以．
故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）【解析】
（i） 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．
（ii） 若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），则 当n≥2时，由an+Sn=bn+c ③，可得an-1+Sn-1=b（n-1）+c．④
③-④得 2an-an-1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b-d（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．
（iii） 若k=2，设（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，由  ⑤，可得  ⑥，
⑤-⑥得 2an-an-1=2an+b-a（n∈N，n≥2）．
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2an+b-a-d，且d=2a，
考虑到a1=1，所以an=1+（n-1）•2a=2an-2a+1（n∈N*）．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2an-2a+1（n∈N*），
此时（a为非零常数）．
 （iv） 当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．