Question

[必做题]
已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…n}的所有3个元素的子集记为A₁，A₂，…，A_C．
（1）当n=5时，求集合A₁，A₂，…，A_C中所有元素之和；
（2）设m_i为A_i中的最小元素，设p_n=m₁+m₂+…+m_c，试求p_n（用n表示）．

Answer

（1）由题意可知集合A中的元素，组成集合A的子集的元素，出现的概率相等，求出每个元素出现的次数，即可求出所有元素的和．
（2）若mi为Ai中的最小元素，则应有1≤mi≤n-2，mi∈Z，若1为某个子集的最小元素，则这样的子集个数2为某个子集的最小元素，则这个集合中，必不再有1，另外两元素取自剩余的n-2个数字中，有 个，…，以n-2为最小元素的子集有 个，利用组合数性质可求
【解析】
（1）当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，
于是所求元素之和为（1+2+3+4+5）×15=90
（2）证明：不难得到1≤mi≤n-2，mi∈Z，并且以1为最小元素的子集有个，以2为最小元素的子集有 个，以3为最小元素的子集有，…以n-2为最小元素的子集有个
∴pn=m1+m2+…+mc=1×
=
=+（n-3）（）+（n-4）+
=+…
=+（n-3）（）
=（n-4）
==