Question

给出以下结论：
①f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函数；                    ②既不是奇函数也不是偶函数；
③F（x）=f（x）f（-x）（x∈R）是偶函数；          ④是奇函数．
其中正确的有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据函数奇偶性的定义，先分析函数的定义域是否关于原点对称，进而分析f（-x）与f（x）的关系，分析出四个答案中对应函数的奇偶性后，综合讨论结果可得答案．
【解析】
∵f（x）=|x+1|-|x-1|，∴f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），故f（x）=|x+1|-|x-1|为奇函数；故①正确；
∵函数的定义域为[-1，0）∪（0，1]关于原点对称，此时=，∴g（-x）==-g（x），故函数为奇函数，故②错误；
∵F（x）=f（x）f（-x），∴F（-x）=f（-x）f（x）=F（x），故F（x）=f（x）f（-x）为偶函数，即③正确；
∵的定义域（-1，1）关于原点对称，且=-=-h（x），故是奇函数，即④正确；
故选C