Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=，f（2）=．
（1）求a、b；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）试判断函数在（-∞，0]上的单调性，并证明．

Answer

（1）已知条件代入得到关于a，b的方程组，两式相除可得a，把a代入其中一式可得b；
（2）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）的关系；
（3）利用的单调性定义来证明：设元，作差，变形，判号，下结论．
【解析】
（1）由已知得：，解得．
（2）由（1）知：f（x）=2x+2-x．任取x∈R，则f（-x）=2-x+2-（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数．
（3）函数f（x）在（-∞，0]上为减函数．
证明：设x1、x2∈（-∞，0]，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=（）-（）=（）+（）=
∵x1＜x2＜0，∴0＜＜＜1，∴＞0，，∴-＜0，，∴-1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在（-∞，0]上为减函数．