Question

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=的零点个数．

Answer

（1）根据f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，设出函数解析式，利用函数f（x）的最小值为-4，可求函数f（x）的解析式；
（2）求导数，确定函数的单调性，可得当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0，g（e5）=-20-2＞25-1-22=9＞0，由此可得结论．
【解析】
（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，
∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1）2-4]（a＞0）
∴f（x）min=-4a=-4
∴a=1
故函数f（x）的解析式为f（x）=x2-2x-3
（2）g（x）==-4lnx-2（x＞0），
∴g′（x）=
x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
g′（x） + - +
g（x） 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加

当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0；
又g（e5）=-20-2＞25-1-22=9＞0
故函数g（x）只有1个零点，且零点