Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）设，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，不等式4aS_n＜b_n恒成立时，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ） ，由[lg（Sn-m）+lg（Sn+2-m）]=2lg（Sn+1-m），能求出b1，b2，b3，b4．
（Ⅱ）由，知，由此能求出cn．
（Ⅲ）由于，所以，从而，所以由条件知（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，由此能够推导出a≤1时，4aSn＜bn恒成立．
（本题14分）
【解析】
（Ⅰ） ，
∵[lg（Sn-m）+lg（Sn+2-m）]=2lg（Sn+1-m），
∴．…（4分）
（Ⅱ）∵，
∴，…（5分）
∴数列{cn}是以-4为首项，-1为公差的等差数列．
∴cn=-4+（n-1）•（-1）=-n-3．…（7分）
（Ⅲ）由于，
所以，
从而..…（8分）
∴
∴…（10分）
由条件知（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8，
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，
当a＜1时，对称轴 ，
f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
f（1）=（a-1）n2+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，
∴，
∴a＜1时4aSn＜bn恒成立
综上知：a≤1时，4aSn＜bn恒成立…（14分）