Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁F₂，过F₁且倾斜角为60°的直线l与双曲线交于M，N两点，则△MNF₂的内切圆半径为    ．

Answer

依题意可求得直线MN的方程，与-y2=1联立，可求得|MN|，再利用双曲线的定义可求得△MNF2的周长，设F2到直线MN的距离为d，利用△MNF2的面积公式即可求得△MNF2的内切圆半径．
【解析】
∵-y2=1的右焦点为F2（2，0），左焦点为F1（-2，0），
∴过F1且倾斜角为60°的直线l方程为：y=（x+2），
∴由 消去y得：8x2+36x+39=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1，x2是方程8x2+36x+39=0的两根．
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴|MN|=•
=2=．
∵|MF2|-|MF1|=2，
|NF2|-|NF1|=2，
∴|MF2|+|NF2|=4+|MN|=5．
∴△MNF2的周长为|MF2|+|NF2|+|MN|=6；
设F2（2，0）到直线MNx-y+2=0的距离为d，
则d==2，
∴=|MN|•d=××2=3．
设△MNF2的内切圆半径为r，
则=（|MF2|+|NF2|+|MN|）•r=3r，
∴3r=3，
∴r=．
故答案为：．