Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁的中点
（1）求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．

Answer

（1）建立坐标系，取BC1中点G，证明与共线，可得EF∥A1G，即可证明EF∥平面A1C1B；
（2）求出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可．
（1）证明：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
取BC1中点G，则G（1，2，1），=（-1，2，-1），
又=（-1，2，-1），∴=，
∴与共线，∴EF∥A1G，
∵A1G⊂平面A1C1B，EF⊄平面A1C1B，
∴EF∥平面A1C1B；
（2）【解析】
∵=（0，2，0），=（-1，2，-1），
∴cos＜，＞===
∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为．