Question

在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，设O是△ABC的内心，若，则=    ．

Answer

由余弦定理算出AC长，从而得到△ABC为以BC为斜边的直角三角形，得内切圆半径r=+1．设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OEAF是正方形，所以=+，根据AB、AC的长度与AE、AF长度之间的关系可得用、的线性表示式，即可得到所求p、q的比值．
【解析】
如图，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=12
∴AB2+AC2=16=BC2，得△ABC为以BC为斜边的直角三角形
由此可得△ABC的内内切圆半径r=（AB+AC-BC）=+1
设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则四边形OEAF是正方形
∵=，==，=+
∴
∵已知
∴p=，q=，可得==
故答案为：