Question

已知椭圆C：的离心率，长轴长为6，0为坐标原点．f₁，F₂分别为椭圆的左，右焦点．
（1）求椭圆c的方程；
（2）若P为椭圆C上的一点，直线PF₂交椭圆于另一点Q，试问是否存在P点使|PF₁|=|PQ|，若存在求△PF₁Q的面积；否则说明理由．

Answer

（1）椭圆C：的离心率，推出a与c的关系，根据长轴长为6，求出a的值，从而求出椭圆c的方程；
（2）P为椭圆C上的一点，直线PF2交椭圆于另一点Q，假设存在P点使|PF1|=|PQ|，利用余弦定理求出p点的横坐标，从而进行判断求解；
【解析】
（1）由题意知，2a=6，所以a=3，又e=，
得c=，
所求方程为；
（2）设|PF2|=x，则|PF1|=6-x，
|F2Q|=6-2x，|F1Q|=2x，
|F1F2|=2，cos∠F1F2P=，
cos∠F1F2Q=，
由cos∠F1F2P+cos∠F1F2Q=0，
化简得（x-2）（2x-3）=0，解得x=2或x=，
当x=2时，|PF1|=4，|PQ|=4，|FQ|=4，易得S△PF1Q=4；
当x=时，|PF1|=|PQ|=，|F1Q|=3，易得S△PF1Q=；