Question

如图为一多面体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE∥DP，且PD=2CE．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（3）若PD=AD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer

（1）取PD中点F，证明四边形EFAB为平行四边形，可得BE∥AF，利用线面平行的判定可得BE∥平面PDA；
（2）设AC∩BD=O，证明CO∥EN，C0⊥平面PDB，即可得到NE⊥平面PDB；
（3）设平面PBE与平面ABCD所夹角为α，利用即可求得结论．
（1）证明：取PD中点F，则FD∥EC，FD=EC

∴四边形EFDC为长方形
∴EF∥CD∥AB
∴四边形EFAB为平行四边形
∴BE∥AF
∵BE⊄面PDA，AF⊂面PDA
∴BE∥平面PDA；
（2）证明：设AC∩BD=O，则NO∥CE，NO=CE
∴四边形NOCE为长方形，∴CO∥EN
∵PD⊥面ABCD，∴CO⊂面ABCD
∴PD⊥CO，
∵CO⊥BD，PD∩BD=D
∴C0⊥平面PDB
∴NE⊥平面PDB；
（3）【解析】
设平面PBE与平面ABCD所夹角为α
∵PD⊥平面ABCD于D，CE⊥平面ABCD于C，∴
在△PBE中，PB=2a，BE=，PE=，
∴S△PBE=
∵S△BDC=，
∴