Question

已知直线l与椭圆C：交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两不同点，且△OPQ的面积S_△OPQ=，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；
（Ⅱ）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；（Ⅲ）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
由（Ⅰ）得u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．
【解析】
（Ⅰ）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x1=x2，y1=-y2，
∵P（x1，y1）在椭圆上，
∴     ①
又∵S△OPQ=，
∴|x1||y1|=      ②
由①②得|x1|=，|y1|=1．此时x12+x22=3，y12+y22=2；
2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入得
（3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）＞0
即3k2+2＞m2，
又x1+x2=-，x1•x2=，
∴|PQ|==，
∵点O到直线l的距离为d=，
∴S△OPQ==，
又S△OPQ=，
整理得3k2+2=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-）2-2=3，
y12+y22=（3-x12）+（3-x22）=4-（x12+x22）=2；
综上所述x12+x22=3，y12+y22=2．结论成立．

（Ⅱ）1°当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
|OM|=|x1|=，|PQ|=2|y1|=2，
因此|OM|•|PQ|=．
2°当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知 =-，=k+m==
|OM|2=（）2+（）2==，
|PQ|2=（1+k2）==2（2+），
所以|OM|2|PQ|2=×=（3-）（2+）

=．
|OM|•|PQ|．当且仅当=2+，
即m=±时，等号成立．
综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为；

（Ⅲ）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=，
证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
由（Ⅰ）得
u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
解得u2=x12=x22=；v2=y12=y22=1．
因此u，x1，x2只能从±中选取，
v，y1，y2只能从±1中选取，
因此点D，E，G，只能在（±，±1）这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾．
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．