Question

直线y=kx+b与曲线x²+4y²-4=0交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值．

Answer

（1）将方程化为标准方程，求得几何量，即可求得离心率；
（2）求出A，B的坐标，可得△AOB的面积，利用基本不等式，即可求得结论．
【解析】
（1）曲线的方程可化为：，-------------------（1分）
∴此曲线为椭圆，a=2，c=-------------------（4分）
∴此椭圆的离心率------------------（6分）
（2）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），
由及y=b，解得x1，2=±2，-----------------------------（8分）
所以S=b|x1-x2|=2b≤b2+1-b2=1-----------------------------（11分）
当且仅当b=时，S取到最大值1．-----------------------------（13分）