Question

选修4-2：矩阵及其变换
（1）如图，向量被矩阵M作用后分别变成，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求在M作用后的函数解析式；
选修4-4：坐标系与参数方程
（ 2）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
选修4-5：不等式选讲
（3）已知x，y，z为正实数，且，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

Answer

（1）（Ⅰ）二阶矩阵把点变换成点，利用待定系数法及二阶矩阵与平面列向量的乘法，可求矩阵M，
（Ⅱ）二阶矩阵把点变换成点，借此又可解决坐标变换问题，注意变换前后点的坐标间的关系．
（2）（Ⅰ）由圆C的方程为，能求出圆的直角方程．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，再由点P的坐标为（3，），能求出|PA|+|PB|．
（3）由柯西不等式，得x+4y+9z=[（）2+（2）2+（3）2]•[（）2+（）2+（）2]，由此能求出x+4y+9z取得最小值．
【解析】
（1）（Ⅰ）设M=，
∵，矩阵M作用后分别变成=（2，2），=（2，4），
∴用待定系数求得M=．（4分）
（Ⅱ）∵M=，∴，解得，
再坐标转移法得y′=2sin（+）．（7分）
（2）（Ⅰ）∵圆C的方程为，
∴，
∴圆的直角方程：
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
由，故可设t1，t2是上述方程的两根
所以，又直线l过点，故结合t的几何意义得
|PA|+|PB|=．…7 分
（3）【解析】
由柯西不等式得
x+4y+9z=[（）2+（2）2+（3）2]•[（）2+（）2+（）2]
≥
=36．…（4分）
当且仅当x=2y=3z时等号成立，…（5分）
此时x=6，y=3，z=2…（6分）
所以当x=6，y=3，z=2时，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）