Question

已知函数．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足，，求证：对一切正整数n≥1都有＜2．

Answer

（1）由，an+1=f（an）（n∈N+）知：，由此能求出．
（2）由bn+1=（1+bn）2•，知bn+1=bn（bn+1），故=，由此利用裂项求法能够证明对一切正整数n≥1都有＜2．
（1）【解析】
∵，an+1=f（an）（n∈N+），
∴，…1分
=，…..3分
=1，…5分
∴{}是以为首项，1为公差的等差数列，
即，
∴．…6分
（2）证明：由已知得bn+1=（1+bn）2•，
∴bn+1=bn（bn+1），显然bn∈（0，+∞），…7分
∴=====，…9分
∴
=（）+（）+…+（）
=
=2-＜2．…11分
所以，对一切正整数n≥1都有＜2．…12分