Question

已知sinα，cosα是关于x的方程的两根，求sin⁶α+cos⁶α的值．

Answer

由sinα，cosα为已知方程的两根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，利用韦达定理表示出sinα+cosα与sinαcosα，利用同角三角函数间的基本关系列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将所求式子利用立方和公式分解因式后，利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形后，把求出a的值代入计算，即可求出值．
【解析】
∵sinα，cosα是关于x的方程x2-ax+2a=0的两根，
∴sinα+cosα=a，sinαcosα=2a，△=b2-4ac=5a2-8a≥0，即a≤0或a≥，
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+4a=5a2，即（5a+1）（a-1）=0，
解得：a=-或a=1（不合题意，舍去），
则sin6α+cos6α=（sin2α+cos2α）（sin4α-sin2αcos2α+cos4α）
=sin4α-sin2αcos2α+cos4α=（sin2α+cos2α）2-3sin2αcos2α=1-3sin2αcos2α=1-12a2=．