(1)求出函数f(x)的导数,得到导数在x=1时为零.然后列表讨论函数在区间(0,1)和(1,+∞)上讨论函数的单调性,即可得到函数f(x)的单调区间和极值;
(2)在[1,+∞)上是单调函数,说明g(x)的导数g'(x)在区间[1,+∞)恒大于等于0,或g'(x)在区间[1,+∞)恒小于等于0.然后分两种情况加以讨论,最后综合可得实数a的取值范围.
【解析】
(1)易知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).…(1分)
当a=-2时,.…(2分)
当x变化时,f'(x)和f(x)的值的变化情况如下表:…(4分)
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - +
f(x) 递减 极小值 递增
由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),极小值是f(1)=1.…(8分)
(2)由,得.…(9分)
又函数为[1,+∞)上单调函数,
①若函数g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,
则g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即不等式在[1,+∞)上恒成立.
也即在[1,+∞)上恒成立,
而φ(x)=在[1,+∞)上的最大值为φ(1)=0,所以a≥0.…(12分)
②若函数g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,
根据①,在[1,+∞)上φ(x)max=φ(1)=0,φ(x)没有最小值.…(13分)
所以g'(x)≤0在[1,+∞)上是不可能恒成立的.…(15分)
综上,a的取值范围为[0,+∞).…(16分)