Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

Answer

（Ⅰ）先证明CD⊥平面PAC，然后证明CD⊥AE；
（Ⅱ）要证PD⊥平面ABE，只需证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线AE与AB即可．
证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，
故CD⊥平面PAC．
又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．
（Ⅱ）由题意：AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．
又AB=BC，且∠ABC=60°，
∴AC=AB，从而AC=PA．
又E为PC之中点，∴AE⊥PC．
由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．
又AB∩AE=A，
故PD⊥平面ABE．