Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）若，AB=2，求点A到平面BEC₁的距离．

Answer

（1）由ABC-A1B1C1是正三棱柱，知AA1⊥平面ABC，BE⊥AA1．由△ABC是正三角形，E是AC中点，知BE⊥平面ACC1A1．由此能够证明平面BEC1⊥平面ACC1A1．
（2）由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离，过点C作CH⊥C1E于点H，则可证CH⊥平面BEC1，故CH为点C到平面BEC1的距离，由等面积可得结论；
证明：（1）∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，
∴BE⊥AA1．
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC1A1．
∴BE⊂平面BEC1
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1
【解析】
（2）由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE⊂平面BEC1，
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1，
过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，
∴CH为点C到平面BEC1的距离
在直角△CEC1中，CE=1，CC1=，C1E=，
∴由等面积法可得CH=
∴点A到平面BEC1的距离为