Question

已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer

（1）设g（x）=|x-1|+|x-5|，则．由此可知g（x）min．
（2）由题意知，g（x）=|x-1|+|x-5|的最小值为4，|x-1|+|x-5|-a＞0，由此可知a的取值范围．
【解析】
函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a＞0，即|x-1|+|x-5|＞a，
（1）当a=2时，f（x）=log2（|x-1|+|x-5|-2）
设g（x）=|x-1|+|x-5|，则．（3分）
g（x）min=4，f（x）min=log2（4-2）=1．（5分）
（2）由（I）知，g（x）=|x-1|+|x-5|的最小值为4，7分|x-1|+|x-5|-a＞0，
∴a＜4
∴a的取值范围是（-∞，4）．（10分）