Question

在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}前n项和，a₁=1，当n≥2时，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求证：数列是等差数列；
（II）设求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由n≥2时，2SnSn-1=-an=Sn-1-Sn，利用分离常数法，可证得数列是等差数列；
（II）由（I）中数列的通项公式，求出Sn的通项公式，进而可得数列{bn}的通项公式，利用裂项相消法，可得数列{bn}的前n项和Tn；
（III）由（II）中Tn的表达式，可得到Tn为递增数列，故对任意自然数n∈N*，都有成立，即，由此构造m的不等式，解答后可得m的范围进而得到最大值．
证明：（I）∵当n≥2时，2SnSn-1=-an=Sn-1-Sn
两边同除SnSn-1得：2=-
∵a1=1，
∴=1
即{}是以1为首项，以2为公差的等差数列
（II）由（I）得=2n-1
即Sn=
∴==（-）
∴Tn=b1+b2+…+bn=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）=
（III）令T（x）=，则T′（x）=
则T（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当n=1时，Tn取最小值
若对任意自然数n∈N*，都有成立
只要
即
解得m＜，
由m∈N*，
∴m的最大值为9