Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）证明数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）求数列{n•a_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）要证一个数列为等比数列，就是要证明这个数列的每一项与它的前一项的之比是一个常数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=3n-1（n∈N*），又an+1=2Sn（n∈N+）可求n≥2时an通项，知a1=1，所以可求n∈N*时an通项．
（Ⅲ）在Tn 的等式两边同乘以3得到一个新的等式，两式左右两边分别相减，再用等比数列的前n项和可求Tn
【解析】
（Ⅰ）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn，∴．
又∵S1=a1=1，
∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）．…（4分）
（Ⅱ）当n≥2时，an=2Sn-1=2•3n-2（n≥2），
…（8分）
（Ⅲ） Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，
当n=1时，T1=1；
当n≥2时，Tn=1+4•3+6•31+…+2n•3n-2，…①
3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1，…②…（11分）
①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n•3n-1
=
∴．         …（13分）
又∵T1=a1=1也满足上式，
∴．                        …（14分）