Question

已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x，使x∈[，]且f（x）≤g（x）成立，求的取值范围．

Answer

（I）根据已知求出h（x）=f（x）-g（x）的解析式，求出其导函数，分别求出导函数为正，为负时x的取值范围，进而可得h（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据区间的定义可得＜，由f（x）≤g（x），结合（I）中函数的单调性，分类讨论，最后综合讨论结果，可得的取值范围．
【解析】
（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+a-xlnb
∴h′（x）=lnx+1-lnb
由h′（x）＞0得x＞，
∴h（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．…（4分）
（2）由＜得＜7                      …（5分）
（i）当≤≤，即≤≤时，
h（x）min=h（）=-+a
由-+a≤0得≥e，
∴e≤≤                …（7分）
（ii）当＜时，a＞
∴h（x）在[，]上单调递增．
h（x）min=h（）=（ln-lnb）+a≥（lnlnb）+a=＞=b＞0
∴不成立                                         …（9分）
（iii）当＞，即＞时，a＜b
h（x）在[，]上单调递减．
h（x）min=h（）=（ln-lnb）+a＜（lnlnb）+a=＜=＜0
∴当＞时恒成立                           …（11分）
综上所述，e≤＜7                            …（12分）