Question

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x²（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer

（1）可判断函数f（x）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；
（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[-1，1]；
（3）由是（0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，从而有，问题转化为方程有两个不等非负实根，利用二次方程根的分布知识可得k的限制条件；
【解析】
（1）函数f（x）在区间上单调递减，在上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
有==，
∴y1＞y2，故y=-x3是R上的减函数．
又因为y=-x3在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有；
故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；
设x1，x2为方程x2-（2k+1）x+k2=0的二根，则，
解得：
∴k的取值范围．