Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证AD1∥平面DBC1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AD1与平面DBC1内一直线平行，而BC1∥AD1，BC1⊂平面DBC1，AD1⊄平面DBC1，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接AC，由正方体的几何性质可得AC即为AE在底面ABCD上的射影，则∠EAC即为AE与平面ABCD所成角，在Rt△AEC中，求出此角的余弦值即可．
证明：（Ⅰ）∵AB∥C1D1，AB=C1D1
∴ABC1D1是平行四边形，则BC1∥AD1．
BC1⊂平面DBC1，AD1⊄平面DBC1，
∴AD1∥平面DBC1；
（Ⅱ）连接AC，由正方体的几何性质可得AC即为AE在底面ABCD上的射影，
则∠EAC即为AE与平面ABCD所成角
在Rt△AEC中，EC⊥AC，
则
所以AE与平面ABCD所成角的余弦值为