Question

已知函数
（1）证明：函数f（x）是奇函数．
（2）证明：对于任意的非零实数x恒有x f（x）＜0成立．

Answer

（1），由此能求出函数f（x）的定义域为R，从而证明函数f（x）为奇函数．
（2）令g（x）=x f（x）由（1）易知函数g（x）为偶函数，由此能够证明对于x≠0的任何实数x，均有x f（x）＜0．
【解析】
（1）∵函数，
∴…．（2分）
=…．（4分）
又函数f（x）的定义域为R，故函数f（x）为奇函数．…．（5分）
（2）证明：令g（x）=x f（x）由（1）易知函数g（x）为偶函数，…．（6分）
当x＞0时，由指数函数的单调性可知：2x＞1，
∴1+2x＞2，…．（7分）
，
∴，
故x＞0时有x f（x）＜0．…．（8分）
又g（x）=x f（x）是偶函数，当x＜0时，-x＞0，
∴当x＜0时g（x）=g（-x）＜0，即对于x≠0的任何实数x，均有x f（x）＜0．…．（10分）