Question

已知函数f（x）=4^x+a•2^x+1+4
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有两个大于0的实根，求a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．

Answer

（1）设t=2x＞0，则y=g（t）=t2+2at+4，转化为求函数g（t）（t＞0）的值域即可；
（2）由x＞0得t＞1，方程f（x）=0有两个大于0的实根⇔方程g（t）=t2+2at+4=0有两个大于1的实根，求出即可；
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，而g（t）=（t+a）2+4-a2，因此需要对-a与2、4的大小关系进行分类讨论即可．
【解析】
（1）设t=2x＞0，则y=g（t）=t2+2at+4，
当a=1时，y=t2+2t+4=（t+1）2+3，对称轴为t=-1，开口向上．
∴g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（0）=4．
∴函数f（x）值域为（4，+∞）．
（2）由x＞0得t＞1．
∴方程f（x）=0有两个大于0的实根等价于方程g（t）=t2+2at+4=0有两个大于1的实根，
则需  解得，
∴．
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，g（t）=（t+a）2+4-a2．
①当-a≥4，即a≤-4时，g（t）在[2，4]上单调递减，
∴g（t）min=g（4）=20+8a；
②当2＜-a＜4，-4＜a＜-2时，；
③当-a≤2即a≥-2时，g（t）在[2，4]上单调递增，
∴g（t）min=g（2）=8+4a．