Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且．
（1）求证：面PAD⊥面PCD；
（2）求直线PC与面PAD所成角的余弦值；
（3）求AC与PB所成的角的余弦值．

Answer

（1）根据线面垂直的判定与性质，证出CD⊥平面PAD，结合CD是平面PCD内的直线，即可得到平面PAD⊥平面PCD；
（2）由（1）知∠CPD就是线PC与面PAD所成角．Rt△PCD中求出PC的长，再利用直角三角形中三角函数的定义，即可得到直线PC与面PAD所成角的余弦值；
（3）分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，可得A、B、C、P各点的坐标，从而得到向量、的坐标，由空间向量的夹角公式算出、的余弦之值，即得AC与PB所成的角的余弦值．
【解析】
（1）∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA
∵PA、AD是平面PAD内的相交直线，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD；
（2）∵CD⊥平面PAD，得PD是PC在平面PAD内的射影
∴∠CPD就是线PC与面PAD所成角
∵CD=1，PD=，
∴Rt△PCD中，PC==，cos∠CPD==，
即直线PC与面PAD所成角的余弦值是；
（3）分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图
可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
∴=（1，1，0），=（0，2，-1）
可得||=，||=，•=1×0+1×2+0×（-1）=2
∴cos＜，＞===
由此可得AC与PB所成的角的余弦值为．