Question

设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（I）求a，b的值；
（II）证明：．

Answer

（I）由f（x）=x+ax2+blnx，知，由y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，知，由此能求出a，b．
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，则=-，由此能证明．
【解析】
（I）∵f（x）=x+ax2+blnx，
∴，
∵y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2，
∴，
解得a=-1，b=3．
（II）f（x）的定义域为（0，+∞），
由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，
则=-，
当0＜x＜1时，g（x）′＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）单调增加，在（1，+∞）单调减少．
∴g（x）max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴．