Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（Ⅱ）求正整数a，使得f（x）在区间（-3，）上为单调函数．

Answer

（Ⅰ）求导函数，根据函数f（x）在（-，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，从而可求实数a的值；
（Ⅱ）使得f（x）在区间（-3，）上为单调函数，只需f′（-3）≤0，且f′（）≤0，结合a是正整数，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+2ax-2
由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在区间（-，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增
可得f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-；
（Ⅱ）令f′（x）=3x2+2ax-2=0，可得，．
当a是正整数时，x1＜0＜x2．
使得f（x）在区间（-3，）上为单调函数，只需f′（-3）≤0，且f′（）≤0，
即25-6a≤0，且≤0，所以
由已知a为正整数，得a=5．