Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值．

Answer

（Ⅰ）利用OM是△ABC的中位线，可得OM∥AB，利用线面平行的判定，可得OM∥平面ABD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABD的法向量、平面BOD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-BD-O的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（2分）
因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
由题意，OB=OD=3，
因为，所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（7分）
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示.，B（0，0，3）．
所以，…（8分）
设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则有即：
令x=1，则，所以=．…（10分）
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的法向量为=（1，0，0）．…（11分）
所以，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为．…（12分）