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已知边长为2的正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起...

已知边长为2的正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,点A在平面BCDE的投影点O恰好落在直线EF上.
(1)证明:BF∥平面ADE;
(2)证明:AE⊥平面ACD;
(3)求三棱锥F-ABC的体积.

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(1)由BE∥FD,BE=FD,知四边形BEDF为平行四边形,由此能够证明BF∥平面ADE. (2)由AO⊥面BCDE,知AO⊥CD,由CD⊥EF,知CD⊥EF,由此能够证明AE⊥平面ACD. (3)由BC=2,CF=1,知=1,由AE⊥面ACD,知AE⊥AF,由EF=2,AE=1,知AF=,AD=,由此能求出三棱锥F-ABC的体积. (1)证明:∵BE∥FD,BE=FD, ∴四边形BEDF为平行四边形, ∴ED∥BF, ∵ED⊂平面ADE,BF⊄平面ADE, ∴BF∥平面ADE. (2)证明:∵AO⊥面BCDE,∴AO⊥CD, 又∵CD⊥EF,AO∩EF=O, ∴CD⊥EF, ∴CD⊥AE, 又∵AE⊥AD,AD∩CD=D, ∴AE⊥平面ACD. (3)【解析】 ∵BC=2,CF=1, ∴=1, 由(2)知:AE⊥面ACD, ∴AE⊥AF, 又∵EF=2,AE=1, ∴AF=, ∴AD==, ∴VF-ABC=VA-BCF==.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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