Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n+1=2λS_n+1 （λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若，n∈N^*，n∈R，设T_n为数列的前n项和，求证：T_n．

Answer

（1）由Sn+1=2λSn+1，知a3=S3-S2=4λ2，再由a3=4，λ＞0，能求出λ．
（2）由Sn+1=2λSn+1，得Sn+1+1=2（Sn+1），故数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以，由此能求出（n∈N*）．
（3）由=2+2log2an=n+1．知==，由此利用裂项求法和能证明数列的前n项和．
【解析】
（1）由Sn+1=2λSn+1，
得S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，
S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1，
∴a3=S3-S2=4λ2，
又∵a3=4，λ＞0，∴λ=1．
（2）由Sn+1=2λSn+1，得Sn+1+1=2（Sn+1），
∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴，∴，
∴an=Sn-Sn-1=2n-1．n≥2
∵当n=1时，a1=1满足，∴（n∈N*）．
（3）∵
=2+2log2an
=
=
=n+1．
∴==，
∴数列的前n项和：
Tn=
=[（1-）+（）+（）+…+（）+（）]
=
＜=，
∵T1=，
∴．