Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（2）求证：AC⊥平面BDD₁B₁．

Answer

（1）由正方体ABCD-A1B1C1D1，知BB1∥AA1∥DD1，且BB1=AA1=DD1，由此能够证明B1D1∥平面BC1D．
（2）由DD1⊥面AC，知DD1⊥AC，由DD1⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD1B1．
证明：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1，
∴BB1∥AA1∥DD1，且BB1=AA1=DD1，
（写成BB1∥DD1，且BB1=DD1不扣分）
∴四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
．又∵B1D1⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，
∴B1D1∥平面BC1D．
（2）∵DD1⊥面AC，∴DD1⊥AC，
∵DD1⊥BD，DD1∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD1B1．