Question

如图，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，侧棱与底面垂直，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，，．
（I）求证：DB⊥BC′；
（II）求二面角A′-BD-C的大小．

Answer

（I）作BM⊥CD，垂足为M，连接AM．由已知中AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，易得到四边形ABMD是正方形，则正方形的对角线BD=，由勾股定理即可得到DB⊥BC′；
（II）设AM与BD交于点E，连接A′E，结合（I）中结论，可证得∠A′EM即为二面角A′-BD-C的平面角，解三角形A′AE，求出∠A′EA大小后，根据∠A′EA与∠A′EM互为邻补角，即可得到二面角A′-BD-C的大小．
证明：（I）作BM⊥CD，垂足为M，连接AM．
因为AB∥CD，AD⊥DC，BM⊥CD，且AB=AD=1，
∴四边形ABMD是正方形
∴BM=DM=1，BD=
又∵，
∴CM==1
∴CD=2，即CD2=BD2+BC2
∴DB⊥BC，
又∵DB⊥B′B，B′B∩BC=B
∴DB⊥平面BC′
而BC′⊂平面BC′
∴DB⊥BC′
【解析】
（II）设AM与BD交于点E，连接A′E
由（I）知，ME⊥BD，且DE=BE
∵A′A⊥平面ABCD，
∴A′A⊥AD，A′A⊥AB
又∵AB=AD=1，∴A′D=A′B
又∵DE=BE，
∴A′E⊥BD
综上可知∠A′EM即为二面角A′-BD-C的平面角，
在△A′AE中，∵A′A=，AE=BD=
∴tan∠A′EA==
即∠A′EA=60°
∴∠A′EM=120°
∴二面角A′-BD-C的大小为120°