Question

在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
（Ⅲ）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知Tn=，结合an=lgTn，（n≥1），即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，即可证得结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，累加，即可求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）【解析】
由题意，数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，
由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知Tn=，
又an=lgTn，（n≥1），
∴an=lgTn=lg=lg10n+2=n+2；
（Ⅱ）证明：tan1=tan[（k+1）-k]=
∴
（Ⅲ）【解析】
bn=tanan•tanan+1=tan（n+2）tan（n+3）=-1
∴数列{bn}的前n项和Sn=++…+-n
=-n