Question

如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，已知AC=PC=PM=1，BC=2，∠ACB=90°．
（1）求证：AC⊥BM；
（2）求证：平面ABM⊥平面ACM；
（3）求二面角M-AC-B的大小．

Answer

（1）由平面PCBN⊥平面ABC，AC⊥BC，知AC⊥平面PCBM，由此能够证明AC⊥BM．
（2）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，则由已知，△CNB和△BNM均为等腰直角三角形，故∠CMN=∠BMN=45°，∠CMB=90°，∠CMN=∠BMN=45°，所以CM⊥BM，由此能够证明平面ABM⊥平面ACM．
（3）由（1）知，AC⊥平面PCBM，又因为AC⊥CM，所以∠MCB为二面角M-AC-B的平面角，由此能够求出二面角M-AC-B的大小．
【解析】
（1）∵平面PCBN⊥平面ABC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥平面PCBM，
又∵BM⊂平面PCBM，
∴AC⊥BM．
（2）取BC的中点N，则CN=1，
连接AN，MN，则由已知，△CNB和△BNM均为等腰直角三角形，
∴∠CMN=∠BMN=45°，
∴∠CMB=90°，
∴∠CMN=∠BMN=45°，
∴∠CMB=90°，
∴CM⊥BM，
由（1）AC⊥BM，∴BM⊥平面ACM，
又∵BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面ACM．
（3）由（1）知，AC⊥平面PCBM，
又∵CM⊂平面PCBM，∴AC⊥CM，
∴∠MCB为二面角M-AC-B的平面角，
∵∠MCB=45°，
∴二面角M-AC-B的大小为45°．