Question

已知函数f（x）定义域为R且同时满足：①f（x）图象左移1个单位后所得函数为偶函数；②对于任意大于1的不等实数a，b，总有成立．
（1）f（x）的图象是否有对称轴？如果有，写出对称轴方程．并说明在区间（-∞，1）上f（x）的单调性；
（2）设，如果f（0）=1，判断g（x）=0是否有负实根并说明理由；
（3）如果x₁＞0，x₂＜0且x₁+x₂+2＜0，比较f（-x₁）与f（-x₂）的大小并简述理由．

Answer

（1）由条件（1）得f（x）的图象关于直线x=1对称，有条件（2）可得f（x）在（1，+∞）上单调递增，从而可判断f（x）在（-∞，1）上单调性；
（2）若g（x）=0有负根x，由 g（x）=+=0可求得f（x）=x-2，再借助f（x）在（-∞，1）上单调递减，可得出矛盾；
（3）点（-x1，f（-x1））与点（2+x1，f（2+x1））为f（x）上关于直线x=1对称的两点，结合x1+x2+2＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，即可比较f（-x1）与f（-x2）的大小．
（1）【解析】
由条件（1）得f（x）的图象关于直线x=1对称…（2分）
有条件（2）得a＞b＞1时，f（a）＞f（b）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增…（4分）
又∵f（x）的图象关于直线 x=1对称，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递减…（5分）
（2）若g（x）=0有负根x，则  g（x）=+=0，
∴f（x）=x-2．
∵f（0）=1，f（x）在（-∞，1）上单调递减，
∴f（x）＞1，
∴x-2＞1，即x＞3与x＜0矛盾，故g（x）=0无负实根…（10分）
（3）【解析】
点（-x1，f（-x1））与点（2+x1，f（2+x1））为f（x）上关于直线x=1对称的两点，
∵x1+x2+2＜0，
∴2＜x1+2＜-x2，又f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（-x2）＞f（2+x1）=f（-x1）…（16分）