Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）求数列a_n的通项公式；
（II）设，求T_n的值．

Answer

（I）由nan=Sn+2n（n-1）结合通项和前n项和的关系，转化为an+1-an=4（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．
（II）由（I）求得 an代入整理得 是一个等差数列与等比数列对应项积的形式，用错位相减法求其前n项和．
【解析】
（I）因为Sn=nan-2（n-1）n，
所以当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-2（n-2）（n-1）．an=Sn-Sn-1=nan-2（n-1）n-（n-1）an-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即an-an-1=4（4分）
所以数列an是首项a1=1，公差d=4的等差数列，且an=1+（n-1）4=4n-3（n∈N*）．（6分）
（II）因为，
所以．①（8分）．②..（10分）
①-②得=．
所以（12分）