Question

已知f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时，f（x）=1-，
（1）求函数f（x）的解析式，
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性并用定义证明．

Answer

（1）只需求x＜0时函数f（x）的解析式即可，利用奇函数的定义和已知x＞0时，f（x）的解析式即可求得分段函数f（x）在定义域上的解析式；
（2）利用函数单调性的定义，任取0＜x1＜x2，利用作差法，证明f（x1）-f（x2）＜0，即可证明函数f（x）在（0，+∞）的单调性
【解析】
（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=1+，又∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（x）=-1-
∴f（x）=
（2）f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
证明：任取0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1--1+=-=
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）为单调增函数．