Question

已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

将函数解析式括号中第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，去括号后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）由正弦函数的递增区间，即可求出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值，即可得到m的取值范围．
【解析】
f（x）=（sinx+cosx+sinx）cosx--sin2x
=2sinxcosx+cos2x-sin2x
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+），
（Ⅰ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，
∴-≤sin（2x+）≤1，即-1≤2sin（2x+）≤2，
∴-1≤f（x）≤2，即f（x）的最大值为2，
∵不等式f（x）＜m恒成立，
则m＞2．