Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B₁作直线交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面积．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2-b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（-2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2-4my-16-0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）
∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即
∵c2=a2-b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴
在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=
∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（-2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2
代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2-4my-16=0①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴，
∵，
∴=
∵PB2⊥QB2，∴
∴，∴m=±2
当m=±2时，①可化为9y2±8y-16-0，
∴|y1-y2|==
∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1-y2|=×4×=．