Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），设F（x）=
（1）令a=1，b=2，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．
（2）设m＞0，n＜0且m+n＞0，a＞0，b=0，求证：F（m）+F（n）＞0．

Answer

（1）由f（x）=x2+2x+1，知g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）+1．由于g（x）在[-2，2]上是单调函数，能求出实数k的取值范围．
（3）由题意可得，f（x）=x2 +1．由条件可得F（m）+F（n）=f（m）-f（-n），m＞-n＞0．而f（m）在大于0区间是增函数，所以 f（m）-f（-n）＞0，从而得到F（m）+F（n）＞0．
【解析】
（1）令a=1，b=2，则F（x）=，即F（x）=．
由（1）可知f（x）=x2+2x+1，∴g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）x+1．
由于g（x）在[-2，2]上是单调函数，可得 ≥2，或 ≤-2．
解得 k≤-2，或 k≥6，故实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）由题意可得，f（x）=x2 +1，故有 f（-x）=f（x），F（n）=-f（n）=-f（-n），
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（-n）．
由于 m+n＞0，所以 m＞-n＞0．
而f（m）在大于0区间是增函数，所以 f（m）-f（-n）＞0，
即F（m）+F（n）＞0．