Question

如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点．
（1）求直线A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（3）求证：平面AA₁C⊥面EFG．

Answer

（1）确定∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角，即可求直线A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）根据线面平行的判定定理可得：D1B1∥平面GEF，同理AB1∥平面GEF，进而根据面面平行的判定定理可得面面平行；
（3）先证明EF⊥平面AA1C，再根据面面垂直的判定定理可得面面垂直．
【解析】
（1）∵A1C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1，A1A⊥平面ABCD
∴AC为A1C在平面ABCD的射影
∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角
∵正方体的棱长为a
∴AC=a，A1C=a
∴sin∠A1CA==；
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中连接BD，
因为DD1∥B1B，DD1=B1B，DD1BB1为平行四边形
所以D1B1∥DB．
∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD，
∴EF∥D1B1．
∵EF⊂平面GEF，D1B1⊄平面GEF，
∴D1B1∥平面GEF
同理AB1∥平面GEF
∵D1B1∩AB1=B1
∴平面A B1D1∥平面EFG．      
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中有AA1⊥平面ABCD，
∵EF⊂平面ABCD∴AA1⊥EF
∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD
∵EF∥BD∴AC⊥EF．
 又因为AA1∩AC=A，
所以EF⊥平面AA1C．
∵EF⊂平面EFG
∴平面AA1C⊥面EFG．