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已知A,B 分别为曲线C:+y2=1(y≥0,a>0)与x轴的左、右两个交点,直...

manfen5.com 满分网已知A,B 分别为曲线C:manfen5.com 满分网+y2=1(y≥0,a>0)与x轴的左、右两个交点,直线l过点B,且与x轴垂直,S为l上异于点B的一点,连接AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧manfen5.com 满分网的三等分点,试求出点S的坐标;
(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在a,使得O,M,S三点共线?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
(1)先由曲线C为半圆时得到a=1,再由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°,再对每一种情况下利用解三角的方法分别求点S的坐标即可; (II)先把直线AS的方程与曲线方程联立,求出点T的坐标以及kBT,进而求得kSM;以及直线SM的方程,再利用O在直线SM上即可求出a的值. 【解析】 (Ⅰ)当曲线C为半圆时,a=1, 由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.┉┉(1分) (1)当∠BOT=60°时,∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,有SB=AB•tan30°=,∴s(1,);┉┉(3分) (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,2), 综上,s(1,)或s(1,2).┉┉(5分) (Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SB为直径的圆上,故SM⊥BT. 显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为y=k(x+a) 由⇒(1+a2k2)x2+2a3k2x+a4k2-a2=0. 设点T(xT,yT),则有, 故xT=⇒,故T(,) 又B(a,0)∴kBT==-,kSM=a2k. 由⇒S(a,2ak),所直线SM的方程为y-2ak=a2k(x-a) O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak=a2k(-a). 又a>0,k>0⇒a=, 故存在a=,使得O,M,S三点共线.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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