Question

已知函数，g（x）=-x²+2x+b
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对∀x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在（0，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把a=2代入f（x）后，对f（x）进行求导，然后利用导数求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已经知道f（x）的值域，题中对∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）＞g（x2），对这问题进行转化为：g（x）max＜f（x）min即可，利用配方法求出g（x）的最小值；
（Ⅲ）题中f（x）在（0，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，可以推出m，n为f（x）的两个极值点，再利用方程的系数与根的关系求出a的范围；
【解析】
（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）
当a=2时，，f'（x）=x2-4，
令f'（x）=0
得x=2或x=-2（舍）

x （0，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - +
f（x） ↘ ↗

∴f（x）的递减区间为（0，2），递增区间为（2，+∞）
（Ⅱ）∵∀x1，x2∈（0，+∞）都有f（x1）＞g（x2）成立
∴g（x）max＜f（x）min
由（Ⅰ）知
g（x）=-（x-1）2+1+b
g（x）max=g（1）=1+b
∴
∴
（Ⅲ）
由条件知m，n恰为f'（x）=0的两个不相等正根，
即x3+（a-6）x+4-2a=0恰有两个不相等正根，
对于方程a（x-2）+x3-6x+4=0显然x=2是方程的一个解，
当x≠2时，a=-x2-2x+2=-（x+1）2+3（x＞0且x≠2）
当x＞0时，-x2-2x+2＜2
当x=2时，-x2-2x+2=-6
∴a＜2且a≠-6